Algunas superficies auto-adjuntas

por Hugo Jiménez

(Facultad de Ciencias, UNAM)

Hablando acerca del problema de Björling y de las curvas duales y teniendo en cuenta el tipo de integrales que se pueden resolver utilizando cambios de variable del tipo z = sn(w,k) , trabaje con la parametrización c(t) = (t^2, t^3/3-t) .

Como sabemos (o en algún momento lo habíamos platicado), la superficie mínima que genera esta curva si utilizamos Björling es X(z) = (z^2, z^3/3-z, i*int(sqrt(4*w^2+(w^2-1)^2),w... y resolviendo la integral tendremos que:

int(sqrt(4*w^2+(w^2-1)^2),w = 0 .. z) = int(sqrt((w... que finalmente tenemos como int(w^2+1,w = 0 .. z) . Por lo tanto, la superficie es: X(z) = (z^2, z^3/3-z, i*z^3/3+i*z) que es la superficie de Enneper (o alguna de estas conocidas) y además es una supeficie que tiene curvas duales auto-adjuntas... lo que nunca utilicé fue el cambio de variable.

Después de hacer algunas cuentas y analizar como se comportaba la solución al problema de Björling pude ver que la forma general para obtener Björlings de este tipo (integrando un polinomio) es c(t) = (2*t^m/m, t^(2*m-1)/(2*m-1)-t) que generan las supeficies X(z) = (2*z^m/m, z^(2*m-1)/(2*m-1)-z, i*(z^(2*m-1)/... . Busqué un poquito más para revisar cuales superficies tienen curvas auto-adjuntas (perpendiculares por supuesto, porque también se tienen superficies que son auto-adjuntas pero no son perpendiculares, como se apreciará en las imágenes) y se encuentran cuando m es par. Por lo tanto X(z) = (2*z^(2*m)/(2*m), z^(4*m-1)/(4*m-1)-z, i*(z^... es una familia de superficies mínimas con geodésicas perpendiculares autoadjuntas (bueno, como ya las conocemos) para cualquier m diferente de cero (incluso para valores negativos). Sin embargo, cuando tenemos el caso en que m = 0 , debemos cambiar la primera componente por 2*log(z) y obtener X(z) = (2*log(z), -1/z-z, i*(-1/z+z)) . Esto nos genera una superficie autoadjunta muy especial... el catenoide (generado por la catenaria). Bueno, en realidad todavía no he encontrado la forma de llevar c(t) = (2*log(t), -1/t-t) , a la forma c(t) = (a*t, a*cosh(t)) , pero como tenemos una superficie mínima de revolución, sólo puede ser el catenoide.Lo que debemos tener en cuenta ahora, es que para valores de m no positivos, se tienen superficies autoadjuntas que no se tocan, como en el catenoide, es decir, las curvas generatrices son curvas simétricas pero que no cortan al eje de simetría, por lo tanto no se tocan... Ahora debemos pensar si todas las superficies autoadjuntas son de la forma anterior (que no creo, y si es así, debemos probar que todas las que existen a partir de las pompas de jabón son parte de una superficie del tipo anterior.)

Las imágenes para distintos valores son las siguientes:

m = -1

m = -2

m = 0

m = 1

m = 2

En la anterior figura, podemos ver que las autoadjuntas mantienen el mismo sentido (realmente son puntos muy planos) y existen dos autoadjuntas que no son perpendiculares. Esto se encuentra con todos los valores pares de m. Ahora se muestra otra vista de la misma figura:

> restart;

> X1:=z->Re(2*log(z));
X:=z->Re(2*z^(2*m)/2*m);
Y:=z->Re(z^(4*m-1)/(4*m-1) - z);
Z:=z->Re(I*z^(4*m-1)/(4*m-1) + I*z);
z1:=r/10*cos(theta*Pi/40) + r/10*I*sin(theta*Pi/40);
z:= x/10+I*y/10;

X1 := proc (z) options operator, arrow; Re(2*log(z)...

X := proc (z) options operator, arrow; Re(z^(2*m)*m...

Y := proc (z) options operator, arrow; Re(z^(4*m-1)...

Z := proc (z) options operator, arrow; Re(I*z^(4*m-...

z1 := 1/10*r*cos(1/40*theta*Pi)+1/10*I*r*sin(1/40*t...

z := 1/10*x+1/10*I*y

Para los negativos utilizamos la siguiente forma: es igual que para los positivos, pero se tiene que eliminar el origen que es donde se encuentra uno de los polos.
n:=-1;
GRAF:=[MESH([seq([seq([evalf(subs(m=n,X(z1))),evalf(subs(m=n,Y(z1))),evalf(subs(m=n,Z(z1)))],r=7..25)],theta=-40..40)])]:

plots[display](GRAF);

n := -1

Warning, computation interrupted

>

>

Para los positivos utilizamos la siguiente forma, que incluye al origen.
n:=2;
GRAF:=[MESH([seq([seq([evalf(subs(m=n,X(z1))),evalf(subs(m=n,Y(z1))),evalf(subs(m=n,Z(z1)))],r=0..12)],theta=-40..40)])]:

plots[display](GRAF);

n := 2

>

Para el cero se utiliza X1(z) = 2*log(z) .
n:=0;
GRAF:=[MESH([seq([seq([evalf(subs(m=n,X1(z1))),evalf(subs(m=n,Y(z1))),evalf(subs(m=n,Z(z1)))],r=4..25)],theta=-40..40)])]:

plots[display](GRAF);

n := 0

z1 := 1/10*r*cos(1/50*theta*Pi)+1/10*I*r*sin(1/50*t...